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平成10年（1998年）。出版社の徳田書店で働くアキラ（佐藤健）は、小学生学年誌の付録のプレゼンを行うもうまくいかない。
隣の学年誌の付録担当編集に話を聞くと、親に聞いてヒントをもらったという。アキラは机上にある父親・ヤス（内野聖陽）の写真に向かってヒントをくれないかと投げかけるが、もちろんその写真から返答はない。
ふと窓の外に目を移すと２羽のとんびが連れ立って飛んでいた――。
時はさかのぼり、昭和47年（1972年）の晩夏。トラック運転手のヤスはもうじき子どもが産まれることもあり、ご機嫌で歌を歌いながら仕事に励み、大好きな酒や博打も絶っていた。
それでも仕事が終わると姉のような存在のたえ子（麻生祐未）が切り盛りする居酒屋・夕なぎへ行くのがヤスの日課だった。
幼い頃に母親を亡くし、父親にも捨てられた自分にも、今は大好きな妻がいて、子どもが産まれるということに自分自身が照れてしまい、家に帰る前に一呼吸置こうと夕なぎに顔を出すのだった。だが、幼馴染の照雲（野村宏伸）らにからかわれ、短気なヤスはイライラして店を出て行く。
アパートの前に着いたヤスが緊張を振り払おうと咳払いをして階段を上ると、音でヤスが帰ってきたことに気付いた妻・美佐子（常盤貴子）が家のドアを開ける。
家の中には、ちゃぶ台にあふれんばかりのおかずが並べられている。勢い良く食べるヤスを幸せそうに見る美佐子もまた、ヤス同様に幼い頃に両親を亡くし、親戚の家で育てられたため、遠慮して満足に食事ができず、おかずを山ほど並べて家族で食事をすることを夢見ていたのだった。
数日後、２人はヤスの母親のお墓がある薬師院へと向かう。ちゃんと拝む美佐子に対して、ヤスは墓地のはずれでタバコを吸っているだけ。そんなヤスの元へ、照雲の父親で薬師院の和尚・海雲（柄本明）がやってきて「神様にはたくさんの人がお祈りするから忘れられてしまうかもしれない。最後に頼りになるのは身内だけだ」と諭されると慌てて拝むのだった。
その帰り道、階段の上で陣痛が始まり動けなくなった美佐子を、ヤスは抱えて産婦人科に運ぶ。
生まれた子の名前は、小林旭から旭と名付けられる。幼い頃から親というものを知らずに育ったヤスと美佐子は、愛する息子・アキラを必死に育てながら、幸せな日々を噛み締めていた。
そんな温かな年月が３年流れ――　
アキラが３歳になった頃、休日にヤスが１人で職場で働いていると、「おとしゃんの会社が見たい」というアキラを連れて美佐子がやってくる。
その日の朝、些細な事でケンカをしてしまった３人だったが、そこで「日本中をトラックで一緒に回ろう」と大きな夢を話すのだった。
そして、再び仕事に戻ったヤスだったが、タオルを忘れていることに気付いたアキラがそれを届けようとヤスのもとへ駆け出すと、プラットホームに不安定に積まれた木箱にタオルが引っかかってしまい、アキラの上に積荷が崩れ落ちてくる。
咄嗟にアキラをかばった美佐子は木箱の下敷きになってしまい――。

6歳になり保育園に通うアキラ（荒川槙）を、たえ子（麻生祐未）が迎えに行くと、周りの子どもたちのお迎えに母親が来る姿を見て、どこか寂しそうな表情を見せていた。
母親がいないことで寂しいと思うアキラとヤス（内野聖陽）は一緒に銭湯に行くと、番台のおばちゃん（青木和代）から「アキラに母親を作ってやれ」と見合いをすすめられるが、「今さらいるか！」とつき返す。
風呂に入ったアキラは「保育園で家族の絵を描くことになったからお母さんの写真を貸して欲しい」とヤスに告げる。
その帰り道、両親に手をつながれて歩いている子どもを見たアキラは、ヤスと手をつないでいない手をそっとポケットにしまうのだった。
翌日、保育園で美佐子（常盤貴子）の写真を見ながら絵を描いていたアキラは、周りの子供たちに写真を回し見され、不安になって１人の男の子と喧嘩をしてしまう。
喧嘩を先生たちに止められるが、寂しさや不安な気持ちでいっぱいになり、美佐子の写真をビリビリに破いてしまう。この事件からアキラがおねしょを繰り返すようになり、母親が欲しいのかと思ったヤスはお見合いすることを決意する…。

アキラ（福崎那由他）が11歳の５月。夕なぎで酒を飲むヤス（内野聖陽）は、たえ子（麻生祐未）らから父親らしくキャッチボールぐらいやってやれと冷やかされるが照れて拒む。
そんな中、会社の後輩・葛原（音尾琢真）から、アキラの小学校が選抜チームを作って他校と野球の試合をすることになっていることと、アキラが転校生にエースの座を奪われてしまっていることを聞き、練習に付き合おうとするがアキラの姿がどこにもない。
ヤスが必死で探す中、アキラは高校時代に野球部だった照雲（野村宏伸）と2人で練習をしていたのだった。
親子のように練習する２人の姿を見たヤスは、アキラが嬉しそうに上達したことを報告しても、愛想の無い返事しかできないでいたのだが…。

ヤス（内野聖陽）は、11歳のアキラ（福崎那由他）が自分に内緒で照雲（野村宏伸）や社長（ベンガル）らに母・美佐子（常盤貴子）の事故の真相について聞いてまわっていると知り驚きを隠せなかった。
その一方で、たえ子（麻生祐未）がある男から「娘に会ってやってほしい」と言われていた、との噂を聞く。
たえ子に娘がいるとは知らなかったヤスはその事実を聞こうと夕なぎを訪ねるが、逆にアキラに事故の真相をそろそろ話した方がいいのではと言われ、本当の話なんてできないとさらに悩むことになる。
その時、ヤスの元に、たえ子の元夫・肇（小林隆）と娘・泰子（徳永えり）が訪ねてきて、たえ子と会えるように協力してほしいと言われ…。

平成元年。入院している海雲（柄本明）の見舞いにヤス（内野聖陽）は毎日のように病院に通う一方で、アキラ（佐藤健）は高校の野球部でレギュラーを決めるテストを控え、一度も顔を出せずにいた。
ある日、ヤスは照雲（野村宏伸）から実は海雲が癌で先が長くないために、アキラに意識のあるうちに会いに来るよう頼まれる。
ヤスは見舞いに行くよう頼むのだが、「今は野球の練習が大事だから」と断るアキラ。
そんなアキラの一方的な態度にヤスは腹を立ててしまう。
悩んだヤスは、アキラを見舞いに連れて行こうと野球部の練習を訪れると、偶然にも後輩・山本（大内田悠平）らの尻をバットで叩くアキラの姿を目撃してしまう。
止めようと駆けつけたヤスはアキラと言い争いになり、思わずアキラを殴ってしまう。

平成2年、冬。
ヤス（内野聖陽）は、家から通える地元の国立大学を受験すると言っていたアキラ（佐藤健）から東京の早稲田大学を受験したいと伝えられる。
はじめはアキラが早稲田を受ける事を喜び、たえ子（麻生祐未）や照雲（野村宏伸）、社長（ベンガル）らに自慢するヤスだったが、「東京に行ったら戻って来ないのではないか」という葛原（音尾琢真）の言葉を聞いて一転、ショックを受けてしまう。
そしてある夜、些細な事でアキラと口論になってしまったヤスは「行きたいんだったら勝手に東京に行け！」と言い放ってしまう。
翌朝、家にはアキラの姿はなかった――。

平成4年。
東京で大学生活を送るアキラ（佐藤健）から電話で「雑誌の編集部でアルバイトをしていて、将来的には雑誌の編集者になりたい」とはじめて明かされたヤス（内野聖陽）。
法学部で法律を学んでいるアキラは弁護士になるものだと思っていたヤスは、編集者になることを認めないと激怒して電話を切ってしまう。
怒りが収まらないヤスは、面と向かって話をしようと考えている矢先、アキラが働く編集部から仕事中にアキラに怪我をさせてしまったという謝罪の電話が入る。
アキラのことを心配するも、東京に行くことをためらうヤスの代わりに照雲（野村宏伸）がアキラの様子を見に東京を訪れることになり…。

平成8年。
ヤス（内野聖陽）は、ヤスの父親の息子と名乗る島野（内倉憲二）から突然電話で「父親が会って詫びたいと言っているので、東京に来て頂けないですか？」と相談される。
父親とは50年近く音信不通でまさか生きているとも思っていなかったヤスは、何の感情も湧かず再会することを悩み、照雲（野村宏伸）らに相談するが、アキラ（佐藤健）と東京には行かない約束をしているため断ろうとする。
そんな矢先、たえ子（麻生祐未）から幼い頃の話をされて東京に行くことを決意し、葛原（音尾琢真）が運転するトラックに同乗して島野のもとを訪れることに…。

平成10年。
ヤス（内野聖陽）はアキラ（佐藤健）から「結婚したい人がいるから会って欲しい」と相談される。
その女性が年上で慶応大卒の美人と聞き、たえ子（麻生祐未）や照雲（野村宏伸）ら町中の人に自慢して回るヤスは、きっと美佐子（常盤貴子）に似ている女性に違いないと上機嫌。
しかし帰省当日、アキラとともに現れた由美（吹石一恵）を見て、年齢が予想以上に上であり、美佐子にも似ていないことにヤスは機嫌が悪くなってしまう。
その様子に耐えられなくなった由美は、アキラより7歳年上であるだけでなく、離婚経験があり子供もいることを打ち明けると、ヤスは結婚に猛反対。
言い争いになったアキラは由美を連れて東京に帰ってしまうのだが…。

平成11年・冬。
ヤス（内野聖陽）は走っているフォークリフトの積荷の下敷きになりそうになった葛原の嫁（橋本真実）の孫を助けようとして、代わりに下敷きになってしまう。
茫然とする葛原の嫁、社員たちは必死に荷物を退かし、ヤスは救急車で病院に運ばれる。
事故の知らせを受けたアキラ（佐藤健）やたえ子（麻生祐未）は急いで搬送された病院へ向かう。
父と子、「とんび」の30年間の物語が終わる――。